創造する玩具

カタチを理解したいとき、もっとも使えるのが数学だ。

たとえば、空中に一本の線を描いてみる……線のカタチは千差万別となるが、数学はそれらのカタチを整理する基準を与えてくれる：

ａ

それ自身の次元（その多様体の位相次元）

ｂ

それが入る次元（その多様体が埋め込まれるユークリッド空間の位相次元）

ｃ

予測のしやすさ（アルゴリズム情報量）

ｄ

滑らかさの次元（ハウスドルフ次元）

分類ａにより、描いた線がたしかに（平面や立体ではなく）＜長さという広がりしかもたない＞カタチだということができる。

分類ｂにより、その線が平面上に貼り付いた線なのか、あるいは立体的に捩じれがあるのかをいうことができる。

分類ｃにより、そのカタチがよりかんたんな関数であらわせるなら（たとえば円だったら半径が決まれば線の軌跡は決まる）、それはそれだけすくない情報で伝えられるものだ、ということがいえる（これはその軌跡を点で描くとき、その点が次にどう動くかをどれだけ簡単に予測できるか、ということでもある）。

分類ｄにより、線がどれだけ滑らかなのかをいうことができる（世の中には＜あらゆる部分が尖っている＞ものすごく複雑な線もあったりする）。

もちろん分類の基準はこれだけではなく、無限にある。世界を理解したいというヒトの欲求は果てしないから、これからもさまざまな分類方法が発見／創造されていくだろう。

ただこのようなカタチの＜分類＞と、思い描いたカタチをじっさいに＜描写＞するということは、またべつだ。

じっさいなにかのカタチを描くのに、あまりに多くの手法があると混乱する……とはいえ、カタチを曲率の集合であらわすとか、空間をマス目で区切りそのＮ番目を通る軌跡であらわす（※１）、といったやり方では、情報量がユニットの＜密度＞に依存してしまう……

そこで、さまざまな描画関数が考えられた（これらはけっきょく、ある２点をどうなめらかにつなぐか、という補間技法だが）。たとえば＜画用紙に描く線のカタチ＞（２次元ユークリッド空間上の１次元多様体）については、次のような曲線のための描画関数がある：

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多項式曲線……ベジエ曲線、Ｂスプライン曲線

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有理式曲線……有理ベジエ曲線、有理Ｂスプライン曲線

ベジエ曲線は描けるカタチに制約も多いが、多くの画像処理ソフトで使われている、たぶんもっとも有名な描画関数だ（だからこの描画技法を習得しているグラフィック・デザイナはとても多い）。

有理Ｂスプライン曲線（ヌーバス曲線とも呼ばれる）は、二次曲線（真円／楕円／放物線）を近似せず正確にあらわせ、しかも有理ベジエ曲線より多彩な表現ができるため、ほぼ究極の表現形式となっている（だから構造を正確に表現したいＣＡＤ分野のソフトは、たいていこの描画関数を採用している）。

※１

いわゆる「ラスタ形式」のグラフィック表現（なんらかの関数を使うものは「ベクタ形式」）。

またカタチを＜パーツ＞としてとらえるなら、空間充填の考え方がある。

平面についていえば、ある平面を埋め尽くすのに、どのような図形が使えるか、という問題だ（たとえば「そのカタチだけで平面を充填できる正多角形は、正三角形／正方形／正六角形のみ」といった定理は、この問題にふくまれる）。

変わったところでは、日常の空間（３次元ユークリッド空間）での＜力学的安定＞という観点から、充填するパーツの形を考えたりもしている：

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形の物理学［→ http://www.geoci ...］